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By Burichenko V.P.

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R, und welter rl,tLln//2 b y = t ' t 1"2 ,t/r "''" " Pr . p'[" = a, [] also b la. 1). Bereits PLATON (427 348/347 V. ) wuf3te, wie m a n im 5. Buch seiner G e s e t z e lesen kann, d a b die Z a h l 5040 g e n a u 60 positive Teller hat: r ( 5 0 4 0 ) = 60. I m 16. und 17. J a h r h u n d e r t erwachte das Interesse ffir die Teileranzahl; so b e m e r k t e CARDANO (1501 1576) im Jahre 1537, d a b ein P r o d u k t a v o n r verschiedenen P r i m z a h l e n genau 2 r - 1 positive Teller < a hat.

I s t 7 ganz, so ist (ira Fall d e r E x i s t e n z ) a u c h x n o t w e n d i g ganz. B e w e i s : i) ~ ii): S e i x Gleichung x1/ ql1/1q21/2.... 9qs1/s die kanonische Primzerlegung von x. Die 7 schreibt sich wie folgt 1/1/1 1/1/2 1/1/s ml m2 ql q2 " ' " ' q s Pl P2 " ' " ' P ~ r " Die Eindeutigkeitsaussage des Hauptsatzes 1 impliziert s r, ql Pl . . . qr Pr und n n l m l . . . nnr mr. Die letzten Gleichungen besagen zum einen n ] m o ffir 1 __

0, m2 > 0 .

Wegen der Eindeutigkeit folgt daher aus der Gleichung a' = (q - p) c, dab p in d e r Primzcrlegung yon q - p oder c v o r k o m m e n muB. D a c = q 2 . . " q,, d i e Primzerlegung von c ist und da p nach A n n a h m e von allen q2 . . . q,, verschieden ist, tritt p in d e r Primzerlegung yon q - p a u f . Es gibt also eine natfirliche Zahlkmitq-p=pk, d . h . h. p l q , u n d d i e s i s t w e g e n l < p < q ein Widerspruch zur Primzahleigenschaft von q. j, 1 < j < m, geben muB m i t p = q,i" Wir numerieren die q, so, dab gilt: p~ = p = ql.

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by Paul
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