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By Mary Gray

ISBN-10: 020102568X

ISBN-13: 9780201025682

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Bei dieser und allen folgenden Umformungen bleibt die erste Spalte unverändert, wie aus folgendem Schema ersichtlich ist: + Denn jedes ~2i (k = 3, ... , n) hat die im linken Faktor angegebene erste Zeile und erste Spalte. In gleicher Weise werden die übrigen Spalten behandelt. Daß dabei die bereits vorhandenen Nullen nicht mehr verändert werden, zeigt folgendes Schema: l dn d12 ... 0 d22 ... du dl2 ... 0 d22 ... 0 ... 0 0 0 0 0 0 ... 0 0 0 0 0 0 § 21. Geometrische Anwendungen. 53 Damit ist der Satz bewiesen.

Ik I = + 1 sind, ist I SI= I ~I· Alle n-reihigen orthogonalen Matrizen mit positiver Determinante sind durch das Produkt der \ß; k als Funktionen der n ( n 2- 1) Parameter rp; re dargestellt. Im Falle negativer Determinante ist noch ein Faktor zuzufügen, der sich von der Einheitsmatrix nur dadurch unterscheidet, daß an letzter Stelle - 1 steht. Orthogonale Transformationen mit positiver Determinante sind also gleichbedeutend mit einer Reihe von Drehungen um gewisse feste Achsen. Ist die Determinante - 1, so kommt zu der Drehung noch hinzu, daß eine der Achsen ihre Richtung ändert, während die anderen bleiben, also eine Transformation der Form Das bedeutet bei n = 2, daß die obere Halbebene auf die untere umgeklappt wird und ebenso die untere auf die obere.

Das innere Produkt betrachten wir in der Form ( ~ - a)' (t) -- {J) • Es ist durch die vier Punkte X, A, Y, B bestimmt. Durch Parallelverschiebung machen wir A zum Nullpunkt, und durch Drehung wird erreicht, daß X auf der XcAchse liegt. Dann ·ist (~ h1) YI - a)' (t) - b) = (x1 0 0) ( y 2 - b2 = (y 1 X1 b1 ). - Ya- ba x1 ist die Strecke A X = r 1 , und y 1 B Y = r 2 auf die X 1-Achse. Also: y1 = b1 - - b1 ist die Projektion der Strecke r 2 COSlp, _". ". wo ({J den Winkel bezeichnet, den die Vektoren A X und B Y miteinander bilden.

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A Radical Approach to Algebra (Addison-Wesley Series in Mathematics) by Mary Gray


by George
4.3

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