Download e-book for kindle: Abschätzungen für Differentialoperatoren im Halbraum by I. W. Gelman, W. G. Mazja (auth.)

By I. W. Gelman, W. G. Mazja (auth.)

ISBN-10: 3034871147

ISBN-13: 9783034871143

ISBN-10: 3764312750

ISBN-13: 9783764312756

Ungleichungen für Differentialoperatoren spielen eine fundamentale Rolle in der modernen Theorie der partiellen Differentialgleichungen. Unter den zahlreichen An­ wendungen solcher Ungleichungen, die bei vielen Fragestellungen auftreten und sich durch die Auswahl der Differentialoperatoren und der Randbedingungen, die Anfor­ derungen an den Rand des Gebietes und durch die Normen der jeweils betrachteten Funktionenräume unterscheiden, findet guy Existenz- und Eindeutigkeitssätze, Fehlerabschätzungen bei der numerischen Approximation von Lösungen und der Restglieder in asymptotischen Formeln sowie Ergebnisse über die Struktur des Spek­ trums. Für allgemeine Differentialoperatoren mit konstanten Koeffizienten, die in diesem Buch behandelt werden, sind Abschätzungen im L für Funktionen mit kompaktem 2 Träger im betrachteten Gebiet (HÖBMANDEB [22]) in erschöpfender Weise studiert worden. used to be aber Abschätzungen bis zum Rand des Gebietes betrifft, so ist dazu noch überaus wenig bekannt. Solche Abschätzungen enthalten die Arbeiten von ABONS- ZAJN[3], AGMON[1] (Koerzivität von Differentialoperatoren und Integro-Differenti- operatoren), SCHECHTEB [43], [44], [45] (hinreichende Bedingungen für die Dominanz im Halbraum) und einige andere Untersuchungen, über die in den Literaturhinweisen zu jedem Kapitel mehr gesagt wird. Gegenstand des vorliegenden Buches sind Abschätzungen für Differentialopera­ toren mit konstanten Koeffizienten im Halbraum. Es werden keinerlei A-priori-Einschränkungen bezüglich des Typs der betrachteten Differentialoperatoren gemacht.

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Dann gestattet die (1 X N)-Matrix ß ( | ; t ) , die + 56 1 . 1 genügt, für fast alle f e i ? " 1 die Darstellung CO J — in -t)\? 3 betrachtet wurde. 8. 4. 1 bzw. 2 ausgesprochen wurden, lassen sich im Fall N = 1 noch deutlicher ausdrücken. Besonders einfach wird dann die Formulierung der Bedingung 4 dieser Theoreme. 1. Es sei N = 1. 2) bzw. 4) definiert werden, und ^+(1 ;x) —x— f ( f ) . 1) genau dann erfüllt, wenn folgende Bedingungen gelten'. k k n + 1. 2. 3. 4. Für alle x € R und fast alle f € R besteht die Ungleichung T ( f ; x) = 0 (mod

1 2 ) , ( 2 . 4). 4 anwenden, wo Abschätzungen für quasielliptische verallgemeinert-homogene Matrixoperatoren betrachtet werden sollen. 58 1. Abschätzungen für Matrixoperatoren Zunächst definieren wir die Normen ||-||„ und ((•)),,. E s sei v = {v ... , v ) ein Vektor mit ganzzahligen nichtnegativen Koordinaten und u{x; t) = (u^x, t),... , u (x, t)) € C^(E+). Wir setzen lt m m INI* = £ INI*, wobei ll'U die Norm m3C {R ) ist. Weiter seienp = n rj + ... ,/n ) e #2^ und ... , ^ ( a ; ) ) e C ^ f f i " - ) .

B e w e i s . 1 in die Bedingungen 1 bis 6 der soeben formulierten Folgerung übergehen. In der Tat ist die Formulierung der Bedingungen 1 und 2 in beiden Fällen identisch. Die Bedingung 3 bedeutet offenbar nichts anderes als die „lineare Unabhängigkeit" der einzigen Zeile der Matrix T(|; r) modulo ;r) = (r — £(£)) Jl{£; T). Wir betrachten die Bedingung 4. 1 die Rede war. -«« und 2(f) = [T(S;r)IJl(£;T)U««. 2. A b s c h ä t z u n g e n im H a l b r a u m . Notwendige u. 19) bedeutet, daß für fast alle | e # 2 die einzeilige Matrix

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Abschätzungen für Differentialoperatoren im Halbraum by I. W. Gelman, W. G. Mazja (auth.)


by Paul
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