Get Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur PDF

By Jörg Bewersdorff

ISBN-10: 332291562X

ISBN-13: 9783322915627

ISBN-10: 3528131926

ISBN-13: 9783528131920

Dieses Buch ist eine leichtverst?ndliche Einf?hrung in die Algebra, die den historischen und konkreten Aspekt in den Vordergrund r?ckt. Der rote Faden ist eines der klassischen und fundamentalen Probleme der Algebra: Nachdem im sixteen. Jahrhundert allgemeine L?sungsformeln f?r Gleichungen dritten und vierten Grades gefunden wurden, schlugen entsprechende Bem?hungen f?r Gleichungen f?nften Grades fehl. Nach speedy dreihundertj?hriger Suche f?hrte dies schlie?lich zur Begr?ndung der so genannten Galois-Theorie: Mit ihrer Hilfe kann festgestellt werden, ob eine Gleichung mittels geschachtelter Wurzelausdr?cke l?sbar ist. Das Buch liefert eine gute Motivation f?r die moderne Galois-Theorie, die den Studierenden oft so abstrakt und schwer erscheint.

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Viel interessanter aber ist die Frage, wie man solche Aussagen - auch für mehr als fünf vorgegebene Lösungen - erhält. Auch dies ist keinesfalls schwer und wurde erstmals 1637 von Rene Descartes (1596-1650) in seinem Werk La Geometrie beschrieben: Ist zu den vorgegebenen Zahlen Xl. X2, ... , X n eine Gleichung gesucht, die diese Zahlen als Lösungen besitzt, so kann man einfach die Gleichung (x - XI )(x - x 2 ) ... (x - x n ) =0 23 In der Schreibweise von Viete lautet die Gleichung IQC - 15QQ + 85C - 225Q + 274N, equatur 120.

4. Für die allgemeine kubische Gleichung kommt den dritten Einheitswurzeln die Bedeutung zu, dass mit ihrer Hilfe die Cardanische Formel derart erweitert werden kann, dass stets drei Lösungen berechnet werden können. J3 i 2 2 und erkennt dann, dass die beiden der Cardanischen Formel zugrunde liegenden Gleichungen (siehe Seite 6) 3uv =-p u 3 +v 3 =-q außer dem bereits in Kapitel 1 angeführten Lösungspaar (u, v) zwei weitere Lösungspaare «(u, (2V) und «(2u, (v) besitzen, so dass man insgesamt die folgenden drei Lösungen für die reduzierte kubische Gleichung x 3 + px + q = 0 erhält: 20 Casus irreducibilis - die Geburtsstunde der komplexen Zahlen Die Formel für die drei Lösungen gilt ganz allgemein, da bei ihrer Herleitung keinerlei Einschränkung gemacht wurden.

Man bestimmt nun - beispielsweise mit der Moivre'schen Formel eine komplexe Zahl w mit der Eigenschaft m b w =- - o bm Gleichungen n-ten Grades und ihre Eigenschaften 37 und bildet dann auf Basis einer noch später zu wählenden positiven, kleinen Zahl 0< E< 1 das Argument ZI = Zo + tw. Für den zugehörigen Funktionswertf(ZI) findet man nun: f( ZI ) = b0 - bmE m -bo + bm+I E m+l W m+l + . +bnE nw n bm = (l - Em)bo +bm+I Em+lwm+l + ... +bnEnW n Diese Gleichung erlaubt nun eine Abschätzung für den Betrag If(zl) l: If (Z I)1 :::; (1- E m)Ibo1+ E m (lb +1w m 1+ ...

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Algebra für Einsteiger: Von der Gleichungsauflösung zur Galois-Theorie by Jörg Bewersdorff


by Anthony
4.4

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